सममित त्रिभुज
त्रिभुज मैट्रिक्स
एक त्रिभुज मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जो ऊपरी और निचले दोनों हेसेनबर्ग मैट्रिक्स है । [२] विशेष रूप से, एक त्रिभुज मैट्रिक्स p 1-by-1 और q 2-by-2 मेट्रिसेस का एक सीधा योग होता है , जैसे कि p + q /2 = n - त्रिभुज का आयाम। यद्यपि एक सामान्य त्रिविकोणीय मैट्रिक्स आवश्यक रूप से सममित या हर्मिटियन नहीं है , उनमें से कई रैखिक बीजगणित समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होते हैं, इनमें से एक गुण होता है। इसके अलावा, यदि एक वास्तविक त्रिभुज मैट्रिक्स ए सभी k के लिए a k , k +1 a k +1, k > 0 को संतुष्ट करता है , ताकि इसकी प्रविष्टियों के संकेत सममित हों, तो यह एक विकर्ण परिवर्तन द्वारा एक हर्मिटियन मैट्रिक्स के समान है। आधार मैट्रिक्स का। इसलिए, इसके स्वदेशी मूल्य वास्तविक हैं। यदि हम सख्त असमानता को a k , k +1 a k +1, k 0 से प्रतिस्थापित करते हैं , तो निरंतरता से, eigenvalues अभी भी वास्तविक होने की गारंटी है, लेकिन मैट्रिक्स को अब एक Hermitian मैट्रिक्स के समान नहीं होना चाहिए। [३]
सभी n × n त्रिविकोणीय आव्यूहों का समुच्चय एक 3n-2 आयामी सदिश समष्टि बनाता है ।
कई रैखिक बीजगणित एल्गोरिदम को विकर्ण मैट्रिसेस पर लागू होने पर काफी कम कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है , और यह सुधार अक्सर ट्रिडिगोनल मैट्रिसेस पर भी लागू होता है।
निर्धारक एक tridiagonal मैट्रिक्स की एक आदेश के n एक तीन शब्द से गणना की जा सकती आवर्तन संबंध । [४] लिखें f १ = | Write ए 1 | = एक 1 (यानी, च 1 1 मैट्रिक्स द्वारा 1 का निर्धारक केवल से मिलकर है एक 1 ), और जाने
अनुक्रम ( f i ) को निरंतर कहा जाता है और पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है
प्रारंभिक मान f 0 = 1 और f −1 = 0 के साथ। इस सूत्र का उपयोग करके एक त्रिभुज मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की लागत n में रैखिक है , जबकि लागत एक सामान्य मैट्रिक्स के लिए घन है।
उलट देना
एक गैर-एकवचन त्रिविकोणीय मैट्रिक्स का व्युत्क्रम T
जहां θ मैं आवर्तन संबंध को संतुष्ट
प्रारंभिक स्थितियों के साथ θ 0 = 1, θ 1 = एक 1 और φ मैं संतुष्ट
साथ प्रारंभिक स्थितियों φ n +1 = सममित त्रिभुज 1 और φ n = एक एन । [५] [६]
क्लोज्ड फॉर्म सॉल्यूशंस की गणना विशेष मामलों के लिए की जा सकती है जैसे सममित मैट्रिक्स सभी विकर्ण और ऑफ-विकर्ण तत्वों के बराबर [7] या टोप्लिट्ज मैट्रिस [8] और सामान्य मामले के लिए भी। [9] [10]
सामान्य तौर पर, एक त्रिभुज मैट्रिक्स का व्युत्क्रम एक अर्धविभाज्य मैट्रिक्स होता है और इसके विपरीत। [1 1]
रैखिक प्रणाली का समाधान
स्वदेशी मूल्यvalue
जब एक त्रिविकोणीय मैट्रिक्स भी Toeplitz होता है , तो इसके eigenvalues के लिए एक सरल बंद-रूप समाधान होता है, अर्थात्: [13] [14]
एक वास्तविक सममित त्रिभुज मैट्रिक्स में वास्तविक eigenvalues है, और सभी eigenvalues भिन्न (सरल) हैं यदि सभी ऑफ-विकर्ण तत्व गैर-शून्य हैं। [१५] एक वास्तविक सममित त्रिविकोणीय मैट्रिक्स के eigenvalues की मनमानी परिमित परिशुद्धता के लिए संख्यात्मक गणना के लिए कई विधियां मौजूद हैं, आमतौर पर इसकी आवश्यकता होती है हे ( नहीं 2 ) )> आकार के मैट्रिक्स सममित त्रिभुज के लिए संचालन operations नहीं × नहीं , हालांकि तेज़ एल्गोरिदम मौजूद हैं (समानांतर गणना के बिना) केवल आवश्यकता होती है हे ( नहीं लॉग नहीं ) . [16]
एक साइड नोट के रूप में, एक असंबद्ध सममित त्रिविकोणीय मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें त्रिभुज के गैर-शून्य ऑफ-विकर्ण तत्व होते हैं, जहां eigenvalues भिन्न होते हैं जबकि eigenvectors एक स्केल कारक तक अद्वितीय होते हैं और पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल होते हैं। [17]
के लिए unsymmetric त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स एक eigendecomposition एक का उपयोग कर की गणना कर सकता समानता परिवर्तन ।
सममित त्रिविकोणीय मैट्रिक्स की समानता
एक वास्तविक त्रिभुज , गैर-सममित मैट्रिक्स दिया गया है
एक परिवर्तन जो एक सामान्य मैट्रिक्स को हेसेनबर्ग रूप में कम कर देता है, एक हर्मिटियन मैट्रिक्स को त्रिविकोणीय रूप में कम कर देगा । इसलिए, कई eigenvalue एल्गोरिदम , जब एक हर्मिटियन मैट्रिक्स पर लागू होते हैं, तो इनपुट हर्मिटियन मैट्रिक्स को पहले चरण के रूप में (सममित वास्तविक) ट्रिडिगोनल रूप में कम करते हैं।
एक विशेष भंडारण योजना का उपयोग करके एक त्रिभुज मैट्रिक्स को सामान्य मैट्रिक्स की तुलना में अधिक कुशलता से संग्रहीत सममित त्रिभुज किया जा सकता है । उदाहरण के लिए, LAPACK फोरट्रान पैकेज तीन एक-आयामी सरणियों में क्रम n के एक असममित त्रिभुज मैट्रिक्स को संग्रहीत करता है , एक लंबाई n जिसमें विकर्ण तत्व होते हैं, और दो लंबाई n - 1 जिसमें उप - विकर्ण और सुपरडायगोनल तत्व होते हैं।
HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 13 सममिति Ex 13.2
Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 13 सममिति Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 13 सममिति Exercise 13.2
प्रश्न 1.
नीचे दी गई आकृतियों में प्रत्येक की सममित रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई प्रत्येक आकृति बिन्दुकित रेखा के प्रति सममित है। ये बिन्दुकित रेखाएँ सममित रेखाएँ हैं : सममित त्रिभुज
प्रश्न 2.
नीचे दी गई प्रत्येक आकृति में त्रिभुज को एक वर्गांकित पेपर पर बनाइए। प्रत्येक में सममित रेखा (रेखाओं) को, यदि है, तो उन्हें खींचिए और त्रिभुज के प्रकार को पहचानिए। (आप उनमें से कुछ आकृतियों का अनुरेख (trace) करना पसंद कर सकते हैं। पहले पेपर को मोड़ने वाली विधि द्वारा प्रयास करें)
हल :
(a), (b) और (d) समद्विबाहु त्रिभुज हैं। (c) समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है। इनकी सममित रेखाएँ, बिन्दुकित सममित त्रिभुज रेखाओं द्वारा दर्शाई गई हैं।
प्रश्न 3.
निम्न तालिका को पूरा कीजिए।
हल :
तालिका को पूरी करने पर :
प्रश्न 4.
क्या आप एक ऐसा त्रिभुज बना सकते हो, जिसमें :
(a) केवल एक ही सममित रेखा हो ?
(b) केवल दो ही सममित रेखाएँ हों ?
(c) केवल तीन ही सममित रेखाएँ हों ?
(d) कोई सममित रेखा न हो ?
प्रत्येक में आकृति की रूपरेखा (खाका) बनाइए।
हल :
(a) हाँ, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसकी आकृति इस प्रकार है :
(b) नहीं।
(c) हाँ, यह एक समबाहु त्रिभुज है।
इसकी आकृति इस प्रकार है :
(d) हाँ, यह विषमबाहु त्रिभुज है।
इसकी आकृति इस प्रकार है :
प्रश्न 5.
एक वर्गांकित पेपर पर निम्न की रूपरेखा बनाइए:
(a) एक त्रिभुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो, परंतु ऊर्ध्वाधर सममित रेखा न हो।
(b) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों ही सममित की रेखाएँ हों।
(c) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो, परंतु ऊर्ध्वाधर सममित रेखा न हो।
(d) एक षट्भुज जिसमें केवल दो ही सममित रेखाएँ
(e) एक षट्भुज जिसमें 6 सममित रेखाएँ हों।
हल :
एक वर्गांकित पेपर लेते हैं। उस पर दिए गए प्रश्नों के अनुसार आकृति बनाकर, सममित रेखाएँ निम्न प्रकार प्राप्त होती हैं
प्रश्न 6.
प्रत्येक आकृति का अनुरेखण (ट्रेस) कीजिए और सममित रेखाओं को खींचिए।
हल :
दी गई आकृतियों की सममित रेखाएँ, बिन्दुकित रेखाओं द्वारा दर्शाई गई हैं :
प्रश्न 7.
अंग्रेजी वर्णमाला के A से Z तक के सभी अक्षरों पर विचार कीजिए। इनमें से उन अक्षरों की सूची बनाइए जिनमें:
(a) ऊर्ध्वाधर सममित रेखाएँ हों (जैसा कि A)
(b) क्षैतिज सममित रेखाएँ (जैसा कि B)
(c) सममित रेखाएँ न हों (जैसा कि Q)
हल :
अंग्रेजी वर्णमाला के A से Z तक के सभी अक्षरों से:
(a) ऊर्ध्वाधर सममित रेखाओं वाले (जैसा कि A)
A, H, I, M, O, T, U, V, W, X और Y.
(b) क्षैतिज सममित रेखाओं वाले (जैसा कि B)
B, C, D, E, H, I, K, O और X
(c) बिना सममित रेखाओं वाले (जैसा कि Q)
G, J, L, N, P, Q, R, S और Z.
प्रश्न 8.
यहाँ पर कुछ मुड़ी हुई शीट की आकृतियाँ दी गई हैं, जिनकी तह पर आकृतियाँ बनाई गई हैं। प्रत्येक में पूर्ण आकृति की रूपरेखा खींचिए जो डिजाइन के काटने के बाद दिखाई देगी।
हल :
प्रत्येक में पूर्ण आकृति की रूपरेखा जो डिजाइन के काटने के बाद दिखाई देगी, इस प्रकार है :
MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 13 सममिति Ex 13.2
प्रश्न 1.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृतियों में प्रत्येक की सममित रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। .
हल :
(a) दी हुई आकृति में चार सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं l1, l2, l3, l4 द्वारा दर्शाया गया है।
(b) दी हुई आकृति में चार सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं l, m, n, 0 द्वारा दर्शाया गया है।
(c) दी हुई आकृति में चार सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं a, b, c, d द्वारा दर्शाया गया है।
(d) दी हुई आकृति में केवल एक सममित रेखा है, जिसे बिन्दुकित रेखा P द्वारा दर्शाया गया है।
(e) दी हुई आकृति में 6 सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं l, m, n, 0, p, q द्वारा दर्शाया गया है।
(f) दी हुई आकृति में 6 सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं r, s, t, u, v, w द्वारा दर्शाया गया है।
(g) चूँकि दी हुई आकृति सममित रूप में नहीं है, अतः इसमें कोई सममित रेखा नहीं है।
(h) चूँकि दी हुई आकृति सममित रूप में नहीं है, अतः इसकी कोई सममित रेखा नहीं है।
(i) दी हुई आकृति में पाँच सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं a, b, c, d, e द्वारा दर्शाया गया है।
प्रश्न 2.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई प्रत्येक आकृति में त्रिभुज को एक वर्गांकित पेपर पर बनाइए। प्रत्येक में सममित रेखा (रेखाओं) को, यदि है, तो उन्हें खींचिए और त्रिभुज के प्रकार को पहचानिए। (आप उनमें से कुछ आकृतियों का अनुरेख (trace) करना पसन्द कर सकते हैं। पहले पेपर को मोड़ने वाली विधि द्वारा प्रयास कीजिए।
हल :
(a) और (b) दी हुई आकृतियाँ समद्विबाहु त्रिभुज हैं, इनकी सममित रेखाएँ क्रमशः l व m द्वारा प्रदर्शित की गई हैं।
(c) दी हुई आकृति समकोण त्रिभुज है, इसकी सममित रेखा n द्वारा दर्शायी गई है।
(d) आकृति की कोई सममित रेखा नहीं है।
प्रश्न 3.
निम्न तालिका को पूरा कीजिए :
हल :
प्रश्न 4.
क्या आप एक ऐसा त्रिभुज बना सकते हो, जिसमें,
(a) केवल एक ही सममित रेखा हो ?
(b) केवल दो ही सममित रेखाएँ हों ?
(c) केवल तीन ही सममित रेखाएँ हों ?
(d) कोई सममित रेखा न हो ? प्रत्येक में आकृति की रूपरेखा (खाका) बनाइए।
हल :
(a) हाँ, एक समद्विबाहु त्रिभुज में केवल एक ही सममित रेखा होती है। इस आकृति में इसे l द्वारा दर्शाया गया है।
(b) नहीं, हम ऐसा कोई त्रिभुज नहीं बना सकते जिसमें दो सममित रेखाएँ हों।
(c) हाँ, समबाहु त्रिभुज में तीन सममित रेखाएँ होती हैं। इस आकृति में इन्हें बिन्दुकित रेखाओं l, m, n द्वारा दर्शाया गया है।
(d) हाँ, विषमबाहु त्रिभुज में कोई भी सममित रेखा नहीं बना सकते हैं।
प्रश्न 5.
एक वर्गांकित पेपर पर निम्न की रूपरेखा बनाइएः
(संकेत : आपके लिए सहायक होगा यदि आप पहले सममित रेखा खींचें और उसके बाद आकृति को पूरा करें)।
(a) एक त्रिभुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो परन्तु ऊर्ध्वाधर सममित रेखा न हो।
(b) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों ही सममित रेखाएँ हों।
(c) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो, परन्तु ऊर्ध्वाधर सममित रेखा न हो।
(d) एक षट्भुज जिसमें केवल दो ही सममित रेखाएँ हों।
(e) एक षट्भुज जिसमें 6 सममित रेखाएँ हों।
हल :
(a) एक समद्विबाहु त्रिभुज में केवल क्षैतिज सममित रेखा हो सकती है।
(b) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर सममित रेखाएँ हैं।
(c) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा है।
(d) एक षट्भुज जिसमें क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर सममित रेखाएँ हैं।
(e) एक षट्भुज जिसमें 6 सममित रेखाएँ हैं।
प्रश्न 6.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति का अनुरेखण (ट्रेस) कीजिए और सममित रेखाओं को खींचिए।
हल :
आकृतियों की सममित रेखाएँ निम्न हैं
आकृति (a) की कोई सममित रेखा नहीं है।
आकृति (b) → 2,
(c) → 1,
(d) → 4,
(e) → 2,
(f) → 4.
प्रश्न 7.
अंग्रेजी वर्णमाला के A से Z तक के सभी अक्षरों पर विचार कीजिए। इनमें से उन अक्षरों की सूची बनाइए जिनमें
(a) ऊर्ध्वाधर सममित रेखाएँ हों (जैसा कि A)
(b) क्षैतिज सममित रेखाएँ हों (जैसा कि B)
(c) सममित रेखाएँ न हों (जैसा कि Q)।
उत्तर-
(a) ऊर्ध्वाधर सममित रेखाओं वाले अक्षर
A, H, I, M, O, T, U, V, W, X और Y
(b) क्षैतिज सममित रेखाओं वाले अक्षर
B, C, D, E, H, I, K, O और X
(c) बिना सममित रेखाओं वाले अक्षर
F, G, J, L, N, P, Q, R, S और Z
प्रश्न 8.
पाठ्य-पुस्तक में कुछ मुड़ी हुई शीट की आकृतियाँ दी गई हैं जिनकी तह पर आकृतियाँ बनाई गई हैं। प्रत्येक में पूर्ण आकृति की रूपरेखा खींचिए जो डिजाइन के काटने के बाद दिखाई देगी।
हल :
दी हुई आकृतियों की पूरी आकृतियाँ निम्न हैं
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 291
प्रश्न 1.
यदि आप दर्पण के सामने 100 सेमी की दूरी पर हैं। आपका प्रतिबिम्ब कहाँ होगा? यदि आप दर्पण की ओर चलते हैं, तो आपका प्रतिबिम्ब किस प्रकार चलता है?
उत्तर-
हमारा प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे 100 सेमी की दूरी पर होगा।
यदि हम दर्पण सममित त्रिभुज की ओर चलते हैं तो हमारा प्रतिबिम्ब भी दर्पण के पास चलता है।
त्रिभुज(ट्रायंगल) चार्ट पैटर्न – परिभाषा – बेहतरीन तरीके से ट्रेड कैसे करें
सिमेट्रिकल ट्रायंगल के आकार में शीर्ष और तल को जोड़ती हुई दो ट्रेंड रेखाएँ होती हैं| दोनों का प्रतिच्छेदन बिंदु मध्य उर्ध्वाधर(वर्टीकल) में होना चाहिए| अच्छा होगा कि आप तब तक प्रतीक्षा करें जब तक कैंडलस्टिक ट्रायंगल के शिखर के पास स्थित ट्रेंडलाइन को पार न कर ले| यदि कैंडलस्टिक थ्रेशहोल्ड के ऊपर जाती है तो, बुलिश ऑर्डर खोलें, और यदि नीचे जाती है तो, बियरिश ऑर्डर खोलें|
आरोही(असेंडिंग) ट्रायंगल
असेंडिंग ट्रायंगल सममित त्रिभुज पैटर्न ऐसा फार्मेशन है जिसमें प्रतिरोध ऊपरी किनारे का काम करता है| ट्रोफ(गर्त या उतार) की ट्रेंडलाइन प्रतिरोध रेखा को काटकर ट्रायंगल बनाती है| यह पैटर्न दिखाता है कि कीमत अपट्रेंड पर है| लेकिन संकेत कमजोर थे| जब कीमत प्रतिरोध के ऊपर जाए तो केवल बुलिश ऑर्डर लगाएँ|
अवरोही(डिसेंडिंग) ट्रायंगल
असेंडिंग पैटर्न के विपरीत, डिसेंडिंग ट्रायंगल गिरता हुआ ट्रेंड दिखाता है| ट्रायंगल बनाने के लिए ट्रेंडलाइन समर्थन थ्रेशहोल्ड के प्रतिच्छेद शिखर को काटती है| इस ट्रायंगल के अंत में, कीमत की समर्थन को पार करने और मजबूती से नीचे जाने की संभावना है।
आप कोई भी ट्रायंगल लें, हमेशा उस ट्रेंड को फॉलो करें जहाँ कीमत ट्रायंगल से बाहर हो जाती है| कीमत जब प्रतिरोध के ऊपर जाए तो अप(बढ़त) हिट करें, जब समर्थन को तोड़ दे तो डाउन(गिरावट) हिट करें| और डेटा विश्लेषण के आधार पर जीतने की संभावना 70% है|
इस रणनीति में कम से कम 6 कैंडल्स के बाद पोजीशन खोलनी चाहिए| और जैसे ही कीमत ट्रायंगल के किनारे स्थित ट्रेंडलाइन को काटे तुरंत ट्रेड खोलना चाहिए|